Question

8、定義區間（a，b），[a，b），（a，b]，[a，b]的長度均為d=b-a，多個區間并集的長度為各區間長度之和，例如，（1，2）∪[3，5）的長度d=（2-1）+（5-3）=3．用[x]表示不超過x的最大整數，記{x}=x-[x]，其中x∈R．設f（x）=[x]•{x}，g（x）=x-1，若用d₁，d₂，d₃分別表示不等式f（x）＞g（x），方程f（x）=g（x），不等式f（x）＜g（x）解集區間的長度，則當0≤x≤2011時，有（　　）

A、d₁=1，d₂=2，d₃=2008

B、d₁=1，d₂=1，d₃=2009

C、d₁=3，d₂=5，d₃=2003

D、d₁=2，d₂=3，d₃=2006

Answer 1

分析：先化簡f（x）=[x]•{x}=[x]•（x-[x]）=[x]x-[x]²，再化簡f（x）＞g（x），再分類討論：①當x∈[0，1）時，②當x∈[1，2）時③當x∈[2，2011]時，從而得出f（x）＞g（x）在0≤x≤2011時的解集的長度；對于f（x）=g（x）和f（x）＜g（x）進行類似的討論即可．

解答：解：f（x）=[x]•{x}=[x]•（x-[x]）=[x]x-[x]²，g（x）=x-1
f（x）＞g（x）?[x]x-[x]²＞x-1即（[x]-1）x＞[x]²-1
當x∈[0，1）時，[x]=0，上式可化為x＜1，∴x∈[0，1）；
當x∈[1，2）時，[x]=1，上式可化為0＜0，∴x∈∅；
當x∈[2，2011]時，[x]-1＞0，上式可化為x＞[x]+1，∴x∈∅；
∴f（x）＞g（x）在0≤x≤2011時的解集為[0，1），故d₁=1
f（x）=g（x）?[x]x-[x]²=x-1即（[x]-1）x=[x]²-1
當x∈[0，1）時，[x]=0，上式可化為x=1，∴x∈∅；
當x∈[1，2）時，[x]=1，上式可化為0=0，∴x∈[1，2）；
當x∈[2，2011]時，[x]-1＞0，上式可化為x=[x]+1，∴x∈∅；
∴f（x）=g（x）在0≤x≤2011時的解集為[1，2），故d₂=1
f（x）＜g（x）?[x]x-[x]²＜x-1即（[x]-1）x＜[x]²-1
當x∈[0，1）時，[x]=0，上式可化為x＞1，∴x∈∅；
當x∈[1，2）時，[x]=1，上式可化為0＞0，∴x∈∅；
當x∈[2，2011]時，[x]-1＞0，上式可化為x＜[x]+1，∴x∈[2，2011]；
∴f（x）＜g（x）在0≤x≤2011時的解集為[2，2011]，故d₃=2009
故選B

點評：本題主要考查了抽象函數及其應用，同時考查了創新能力，以及分類討論的思想和轉化思想，屬于中檔題．