Question

15、已知定義域為（O，+∞）的函數f（x）滿足：①對任意x∈（0，+∞），恒有f（10x）=10f（x），②當x∈（1，10]時，f（x）=x-lgx，②．記區間I_k=（10^k，10^k+1]，其中k∈Z，當x∈I_k（k=0，1，2，3，…）時．f（x）的取值構成區間D_k，定義區間（a，b）的區間長度為b-a，設區間D_k在區間I_k上的補集的區間長度為a_k，則a₁=

10

，a_k=

10^k

．

Answer 1

分析：由題設條件求得區間D_k，與區間I_k比較即可得到區間D_k在區間I_k上的補集的區間長度為a_k，I_k已知，故只需要求得D_k即可

解答：解：由題意，當x∈I_k（k=0，1，2，3，…）時．f（x）=10^kf（t），t∈∈（1，10]，
由于當x∈（1，10]時，f（x）=x-lgx，此函數是一個增函數，其值域為（1，9]．
由題意知I_k=（10^k，10^k+1]，D_k=（10^k，9×10^k]，∴區間D_k在區間I_k上的補集為[9×10^k，10^k+1]，∴a_k=10^k，故a₁=10
故答案為：10，10^k

點評：本題考查抽象函數及其應用，求解的關鍵是正確理解函數的定義規則，根據規則進行計算，此類題，理解題意中所給的運算規則很重要．