Question

已知定義域為（O，+∞）的單調函數f（x），若對任意x∈（0，+∞），都有f[f（x）+]=3”，則方程f（x）=2+的解的個數是（ ）
A．3
B．2
C．1
D．O

Answer 1

【答案】分析：由題設知必存在唯一的正實數a，滿足，f（a）=3，，故3+，，，左增，右減，有唯一解a=2，故，由此能夠導出方程f（x）=2+的解的個數是2．
解答：解：∵定義域為（O，+∞）的單調函數f（x），
滿足f[f（x）+]=3，f（x）=2+，
∴必存在唯一的正實數a，
滿足，f（a）=3，①
∴，②
由①②得：3+，
，
，左增，右減，有唯一解a=2，
故，
f（x）=2-，
由2-=2+，得，
∴，
令，則t²=2^t，
此方程只有兩個正根t=2，或t=4，
∴x=4，或x=16．
故方程f（x）=2+的解的個數是2．
故選B．
點評：本題考查對數的運算性質的綜合運用，綜合性強，難度大．解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．