Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=,AB= AD=a,
∠ADC=arccos,PA⊥面ABCD且PA=a.
(1)求異面直線AD與PC間的距離；
(2)在線段AD上是否存在一點(diǎn)F，使點(diǎn)A到平面PCF的距離為

Answer 1

(1)AE=a    (2)在AD上存在滿足條件的點(diǎn)F.

(1)∵BC∥AD,BC面PBC,∴AD∥面PBC
從而AD與PC間的距離就是直線AD與平面PBC間的距離.
過A作AE⊥PB，又AE⊥BC
∴AE⊥平面PBC，AE為所求.
在等腰直角三角形PAB中，PA=AB=a
∴AE=a
(2)作CM∥AB，由已知cosADC=
∴tanADC=,即CM=DM
∴ABCM為正方形，AC=a,PC=a
過A作AH⊥PC,在Rt△PAC中，得AH=
下面在AD上找一點(diǎn)F，使PC⊥CF
取MD中點(diǎn)F，△ACM、△FCM均為等腰直角三角形
∴∠ACM+∠FCM=45°+45°=90°
∴FC⊥AC,即FC⊥PC∴在AD上存在滿足條件的點(diǎn)F.