Question

已知函數y=f（x）的定義域是R，且f（

1

2

）=2，對任意m，n∈R，都有f（m+n）=f（m）+f（n）-1，當x＞-

1

2

時，f（x）＞0．
（1）求f（0），f（-

1

2

）的值；
（2）證明：f（x）在定義域R上是增函數；
（3）求f（x）在[-1，1]上的最值．

Answer 1

分析：（1）由條件，利用賦值法求f（0），f（-

1

2

）的值．
（2）利用函數的單調性結合條件，利用兩次條件證明函數的函數的單調性．
（3）利用（2）的結論，確定f（x）的最大值為f（1），最小值為f（-1）．利用條件求出f（1），f（-1）的值，即可得到函數f（x）在[-1，1]上的最值．

解答：解：（1）∵f（m+n）=f（m）+f（n）-1，
∴令m=n=0，則f（0）=f（0）+f（0）-1，即f（0）=1．
∵f（

1

2

）=2，
∴f（

1

2

-

1

2

）=f（0）=f（

1

2

）+f(-

1

2

)-1，
即1=2+f（-

1

2

）-1，解得f（-

1

2

）=0．
（2）任意設x₁＜x₂，則f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）=f（x₂-x₁）+f（x₁）-1=f（x₂-x₁），
即f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）-1=f（x₂-x₁-

1

2

+

1

2

）=f（x₂-x₁-

1

2

）+f(

1

2

)-1-1=f（x₂-x₁-

1

2

）+f(

1

2

)-2=f（x₂-x₁-

1

2

），
∵x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0，x₂-x₁-

1

2

＞-

1

2

，此時f（x₂-x₁-

1

2

）＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在定義域R上是增函數．
（3）由（2）知f（x）在定義域R上是增函數．
∴f（x）在[-1，1]上是增函數．
∴f（x）的最大值為f（1），最小值為f（-1）．
由f（m+n）=f（m）+f（n）-1，f（

1

2

）=2，
得f（1）=f（

1

2

+

1

2

）=f（

1

2

）+f（

1

2

）-1=2+2-1=3，
f（1-1）=f（0）=f（1）+f（-1）-1，
∴f（-1）=f（0）+1-f（1）=1+1-3=-1．
∴f（x）的最大值f（1）=3，最小值為f（-1）=-1．

點評：本題主要考查抽象函數的應用，利用賦值法合理的利用條件是解決抽象函數的基本方法，綜合性較強，難度較大．