Question

設函數f（x）=|1-

1

x

|（x＞0）．
（1）作出函數f（x）=|1-

1

x

|（x＞0）的圖象；
（2）當0＜a＜b，且f（a）=f（b）時，求

1

a

+

1

b

的值；
（3）若方程f（x）=m有兩個不相等的正根，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將函數寫成分段函數，先作出函數f（x）=1-

1

x

（x＞0），再將x軸下方部分翻折到x軸上方即可得到函數的圖象；
（2）根據函數的圖象，可知f（x）在（0，1]上是減函數，而在（1，+∞）上是增函數，利用0＜a＜b且f（a）=f（b），即可求得

1

a

+

1

b

的值；
（3）構造函數y₁=f（x），y₂═m，由函數f（x）的圖象可得結論．

解答：解：（1）函數f（x）=|1-

1

x

|=

1 x -1，x∈(0，1] 1- 1 x ，x∈(1，+∞)

．
先作出函數f（x）=1-

1

x

（x＞0），再將x軸下方部分翻折到x軸上方即可得到函數的圖象．如圖所示
（2）根據函數的圖象，可知f（x）在（0，1]上是減函數，而在（1，+∞）上是增函數，
由0＜a＜b且f（a）=f（b）得0＜a＜1＜b，∴

1

a

-1=1-

1

b

，∴

1

a

+

1

b

=2
（3）構造函數y₁=f（x），y₂═m，由函數f（x）的圖象可知，當0＜m＜1時，方程f（x）=m有兩個不相等的正根．

點評：本題考查絕對值函數，考查數形結合的數學思想，考查學生的作圖能力，正確作圖是關鍵．