Question

將一塊直角三角板ABO（45^o角）置于直角坐標系中，已知AB=OB=1，AB⊥OB，點是三角板內一點，現因三角板中部分受損壞（△POB），要把損壞的部分鋸掉，可用經過P的任意一直線MN將其鋸成△AMN，問如何確定直線MN的斜率，才能使鋸成的△AMN的面積最大？

Answer 1

【答案】分析：先由圖求得A、B點的坐標，進而表示直線MN的方程，從而求得M、N的坐標，再求得|AN|和點M到直線AN的距離，表示出三角形的面積，再利用其函數的單調性研究．
解答：解：由圖知A（1，1），B（1，0），
設直線MN的斜率為k，直線MN與△POB不能相交，所以
直線MN的方程為，
令x=1得，∴
令y=x得，∴
∴，
點M到直線AN的距離為
∴
∵∴
而函數在上是增函數，
故當∴S_△AMN取得最大值．
點評：本題主要考查直線方程及直線的交點，三角形面積及最值的研究方法．