Question

將一塊直角三角板ABO（45^o角）置于直角坐標系中，已知AB=OB=1，AB⊥OB，點P(

1

2

，

1

4

)是三角板內一點，現因三角板中部分受損壞（△POB），要把損壞的部分鋸掉，可用經過P的任意一直線MN將其鋸成△AMN，問如何確定直線MN的斜率，才能使鋸成的△AMN的面積最大？

Answer 1

分析：先由圖求得A、B點的坐標，進而表示直線MN的方程，從而求得M、N的坐標，再求得|AN|和點M到直線AN的距離，表示出三角形的面積，再利用其函數的單調性研究．

解答：解：由圖知A（1，1），B（1，0），kOP=

1

2

，kBP=-

1

2

設直線MN的斜率為k，直線MN與△POB不能相交，所以-

1

2

≤k≤

1

2

直線MN的方程為y-

1

4

=k(x-

1

2

)，
令x=1得y=

2k+1

4

，∴N(1，

2k+1

4

)
令y=x得x=y=

2k-1

4(k-1)

，∴M(

2k-1

4(k-1)

，

2k-1

4(k-1)

)
∴|AN|=1-

2k+1

4

=

3-2k

4

，
點M到直線AN的距離為1-

2k-1

4(k-1)

=

2k-3

4(k-1)

∴S△AMN=

1

2

3-2k

4

•

2k-3

4(k-1)

=

1

8

[(1-k)+

1

4(1-k)

+1]
∵-

1

2

≤k≤

1

2

∴

1

2

≤1-k≤

3

2

而函數y=x+

1

4x

在[

1

2

，+∞)上是增函數，
故當1-k=

3

2

，即k=-

1

2

時∴S_△AMN取得最大值

1

3

．

點評：本題主要考查直線方程及直線的交點，三角形面積及最值的研究方法．