Question

我們知道，對一個量用兩種方法分別算一次，由結果相同可以構造等式，這是一種非常有用的思想方法--“算兩次”（G．Fubini原理），如小學有列方程解應用題，中學有等積法求高…
請結合二項式定理，利用等式（1+x）ⁿ•（1+x）ⁿ=（1+x）²ⁿ（n∈N^*）
證明：
（1）

n

r=0

(

C

r n

)2=

C

n 2n

；  
（2）

m

r=0

(

C

r n

C

m-r n

)=

C

m 2n

．

Answer 1

分析：（1）利用二項式定理系數(shù)的性質(zhì)，求出xⁿ的系數(shù)，即可得到結論．
（2）利用已知關系式，求出等式兩邊x^m的系數(shù)，即可得到結果．

解答：證明：（1）考慮等式（1+x）ⁿ•（1+x）ⁿ=（1+x）²ⁿ，等式左邊xⁿ的系數(shù)是

C

0 n

C

n n

+

C

1 n

C

n-1 n

+

C

2 n

C

n-2 n

+…+

C

n n

C

0 n

=(

C

0 n

)2+(

C

1 n

)2+…+(

C

n n

)2=

n

r=0

(

C

r n

)2，
等式右邊xⁿ的系數(shù)是

C

n 2n

，根據(jù)對應項系數(shù)相等得，

n

r=0

(

C

r n

)2=

C

n 2n

．（5分）
（2）仍考慮等式（1+x）ⁿ•（1+x）ⁿ=（1+x）²ⁿ，
等式左邊x^m的系數(shù)是

C

0 n

C

m n

+

C

1 n

C

m-1 n

+

C

2 n

C

m-2 n

+…+

C

m n

C

0 n

=

m

r=0

(

C

r n

C

m-r n

)，
等式右邊x^m的系數(shù)是

C

m 2n

，根據(jù)對應項系數(shù)相等得，

m

r=0

(

C

r n

C

m-r n

)=

C

m 2n

．（10分）

點評：本題主要考查二項式定理等基礎知識，考查推理論證能力．