Question

我們知道，對一個量用兩種方法分別算一次，由結果相同可以構造等式，這是一種非常有用的思想方法--“算兩次”（G．Fubini原理），如小學有列方程解應用題，中學有等積法求高…
請結合二項式定理，利用等式（1+x）ⁿ•（1+x）ⁿ=（1+x）²ⁿ（n∈N^*）
證明：
（1）；  
（2）．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用二項式定理系數的性質，求出xⁿ的系數，即可得到結論．
（2）利用已知關系式，求出等式兩邊x^m的系數，即可得到結果．
解答：證明：（1）考慮等式（1+x）ⁿ•（1+x）ⁿ=（1+x）²ⁿ，等式左邊xⁿ的系數是=，
等式右邊xⁿ的系數是，根據對應項系數相等得，=．（5分）
（2）仍考慮等式（1+x）ⁿ•（1+x）ⁿ=（1+x）²ⁿ，
等式左邊x^m的系數是=，
等式右邊x^m的系數是，根據對應項系數相等得，=．（10分）
點評：本題主要考查二項式定理等基礎知識，考查推理論證能力．