Question

如圖，已知△AOB，∠AOB=

π

2

，∠BAO=

π

6

，AB=4，D為線段AB的中點．若△AOC是△AOB繞直線AO旋轉而成的．記二面角B-AO-C的大小為θ．
（Ⅰ） 當平面COD⊥平面AOB時，求θ的值；
（Ⅱ） 當θ∈[

π

2

，

2π

3

]時，求二面角C-OD-B的余弦值的取值范圍．

Answer 1

分析：解法一（向量法）：（I）以O為原點，在平面OBC內垂直于OB的直線為x軸，OB，OA所在的直線分別為y軸，z軸建立空間直角坐標系O-xyz，我們分別求出平面COD和平面AOB的法向量，根據兩個向量垂直則兩個向量的數量積為0，可構造關于θ的方程，代入即可得到θ的值；
（II）設二面角C-OD-B的大小為α，根據θ∈（

π

2

，

2π

3

]，cosα=

n1 • n2

| n1 || n2 |

，我們易確定出cosα的范圍，即二面角C-OD-B的余弦值的取值范圍．
解法二（幾何法）：（I）在平面AOB內過B作OD的垂線，垂足為E，根據平面COD⊥平面AOB，由面面垂直及線面垂直的性質，結合二面角的定義，即可得到二面角B-AO-C的平面角為∠COB，進而求出θ的值；
（Ⅱ）過C作OB的垂線，垂足為F，過F作OD的垂線，垂足為G，連接CG，則∠CGF的補角為二面角C-OD-B的平面角，根據θ∈[

π

2

，

2π

3

]，我們易求出cos∠CGF的取值范圍．

解答：解法一：（Ⅰ） 如圖，以O為原點，在平面OBC內垂直于OB的直線為x軸，OB，OA所在的直線分別為y軸，z軸建立空間直角坐標系O-xyz，則A （0，0，2

3

），B （0，2，0），
D （0，1，

3

），C （2sinθ，2cosθ，0）．
設

n1

=（x，y，z）為平面COD的一個法向量，
由

n1 • OD =0 overrightarrown1• OC =0

得

xsinθ+ycosθ=0 y+ 3 z=0

取z=sinθ，則

n1

=（

3

cosθ，-

3

sinθ，sinθ）．因為平面AOB的一個法向量為

n2

=（1，0，0），由平面COD⊥平面AOB得

n1

•

n2

=0，
所以cosθ=0，即θ=

π

2

．　…（7分）
（Ⅱ） 設二面角C-OD-B的大小為α，由（Ⅰ）得當θ=

π

2

時，cosα=0；
當θ∈（

π

2

，

2π

3

]時，tanθ≤-

3

，cosα=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

3 cosθ

3+sin2θ

=-

3

4tan2θ+3

，
故-

5

5

≤cosα＜0．綜上，二面角C-OD-B的余弦值的取值范圍為[-

5

5

，0]．   （14分）
解法二：（Ⅰ）  解：在平面AOB內過B作OD的垂線，垂足為E，因為平面AOB⊥平面COD，
平面AOB∩平面COD=OD，所以BE⊥平面COD，故BE⊥CO．
又因為OC⊥AO，所以OC⊥平面AOB，故OC⊥OB．
又因為OB⊥OA，OC⊥OA，所以二面角B-AO-C的平面角為∠COB，
即θ=

π

2

．             …（7分）
（Ⅱ） 解：當θ=

π

2

時，二面角C-OD-B的余弦值為0；當θ∈（

π

2

，

2π

3

]時，
過C作OB的垂線，垂足為F，過F作OD的垂線，垂足為G，連接CG，
則∠CGF的補角為二面角C-OD-B的平面角．在Rt△OCF中，CF=2 sinθ，OF=-2cosθ，
在Rt△CGF中，GF=OF sin

π

3

=-

3

cosθ，CG=

4sin2θ+3cos2θ

，
所以cos∠CGF=

FG

CG

=-

3 cosθ

4sin2θ+3cos2θ

．因為θ∈（

π

2

，

2π

3

]，tanθ≤-

3

，
0＜cos∠CGF=

3

4tan2θ+3

≤

5

5

．余弦值的取值范圍為[-

5

5

，0]．   …（14分）

點評：本題考查的知識點是與二面角有關的立體幾何問題，平面與平面垂直的性質，其中向量的關鍵是建立適當的空間坐標系，將空間面面垂直關系轉化為向量垂直問題，將二面角問題轉化為向量夾角問題，幾何法中（I）的關鍵是確定出二面角B-AO-C的平面角為∠COB，∠CGF的補角為二面角C-OD-B的平面角．