Question

如圖，已知△AOB，∠AOB=

π

2

，∠BAO=

π

6

，AB=4，D為線段AB的中點．若△AOC是△AOB繞直線AO旋轉而成的．記二面角B-AO-C的大小為θ．
（1）當平面COD⊥平面AOB時，求θ的值；
（2）當θ∈[

π

2

，

2π

3

]時，求二面角C-OD-B的余弦值的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）以O點為坐標原點，OB，OA所在直線分別為y，z軸建立空間直角坐標系，把C點的坐標用含有θ的三角式表示，求出平面COD與平面AOB的法向量，由法向量的數量積等于0即可求得θ的值；
（2）由（1）得到當θ=

π

2

時的二面角C-OD-B的余弦值，當θ∈（

π

2

，

2π

3

]時，把二面角的余弦值轉化為它們的兩個半平面的法向量所成角的余弦值，最后轉化為角θ的正切值求解．

解答：解：（1）如圖，以O為原點，在平面OBC內垂直于OB的直線為x軸，OB，OA所在的直線分別為y軸，z軸建立空間直角坐標系O-xyz，
則O（0，0，0），A（0，0，2

3

），B（0，2，0），
D （0，1，

3

），C （2sinθ，2cosθ，0）．

OD

=(0，1，

3

)，

OC

=(2sinθ，2cosθ，0)．
設

n1

=（x，y，z）為平面COD的一個法向量，
由

n1 • OD =0 n1 • OC =0

得

xsinθ+ycosθ=0 y+ 3 z=0

取z=sinθ，得：x=

3

cosθ，y=-

3

sinθ．
則

n1

=（

3

cosθ，-

3

sinθ，sinθ）．
因為平面AOB的一個法向量為

n2

=（1，0，0），
由平面COD⊥平面AOB得

n1

•

n2

=0，
所以cosθ=0，即θ=

π

2

．  
（2）設二面角C-OD-B的大小為α，
由（1）得，當θ=

π

2

時，cosα=0；
當θ∈（

π

2

，

2π

3

]時，tanθ≤-

3

，
cosα=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

3 cosθ

3+sin2θ

=-

3

3sec2θ+tan2θ

=-

3

4tan2θ+3

，
∵tanθ≤-

3

，∴4tan²θ+3≥15，
則-

5

5

≤-

3

4tan2θ+3

＜0．
故-

5

5

≤cosα＜0．
綜上，二面角C-OD-B的余弦值的取值范圍為[-

5

5

，0]．

點評：本題考查了面面垂直的判定，考查了二面角的平面角，解答此題的關鍵是明確二面角的平面角與它們的法向量所成角的關系，此題是中檔題．