Question

已知曲線C_n：x²-2nx+y²=0（n=1，2，…）．從點P（-1，0）向曲線C_n引斜率為k_n（k_n＞0）的切線l_n，切點為P_n（x_n，y_n）．
（1）求數列{x_n}與{y_n}的通項公式；
（2）證明：．

Answer 1

【答案】分析：（1）設直線l_n：y=k_n（x+1），聯立x²-2nx+y²=0得（1+k_n²）x²+（2k_n²-2n）x+k_n²=0，則△=（2k_n²-2n）²-4（1+k_n²）k_n²=0，由此可知，
（2）由題設條件知，令函數，則=0，得，再由函數f（x）在上單調遞減可知．
解答：解：（1）設直線l_n：y=k_n（x+1），聯立x²-2nx+y²=0
得（1+k_n²）x²+（2k_n²-2n）x+k_n²=0，
則△=（2k_n²-2n）²-4（1+k_n²）k_n²=0，
∴（舍去）
，
即，∴
（2）證明：∵
∴
由于，
可令函數，則，
令f′（x）=0，得，
給定區間，則有f′（x）＜0，則函數f（x）在上單調遞減，
∴f（x）＜f（0）=0，即在恒成立，又，
則有，即．
點評：本題考查數列的綜合運用，難度較大，解題時要認真審題，注意計算能力的培養．