Question

如圖，ABCD是正方形空地，邊長為30m，電源在點P處，點P到邊AD，AB距離分別為9m，3m．某廣告公司計劃在此空地上豎一塊長方形液晶廣告屏幕MNEF，MN：NE=16：9．線段MN必須過點P，端點M，N分別在邊AD，AB上，設AN=x（m），液晶廣告屏幕MNEF的面積為S（m²）．
（1）求S關于x的函數關系式及該函數的定義域；
（2）當x取何值時，液晶廣告屏幕MNEF的面積S最小？

Answer 1

分析：（1）先用x表示出AM，再由MN²=AN²+AM²，用x表示出MN²．由此能夠求出S關于x的函數關系式及該函數的定義域．
（2）求出S關于x的函數關系式的導數，利用導數的性質能夠求出當當x取何值時，液晶廣告屏幕MNEF的面積S最小．

解答：解：（1）由題意，知AM=

3x

x-9

（10≤x≤30）． …（2分）
MN2=AN2+AM2=x2+

9x2

(x-9)2

． …（4分）
∵MN：NE=16：9，∴NE=

9

16

MN．
∴S=MN•NE=

9

16

MN2=

9

16

[x2+

9x2

(x-9)2

]．…（6分）
定義域為[10，30]．…（7分）
（2）S′=

9

16

[2x+

18x(x-9)2-9x2(2x-18)

(x-9)4

]
=

9

8

×

x[(x-9)3-81]

(x-9)3

，…（9分）
令S'=0，得x=0（舍），x=9+3

3	3

．…（10分）
當10≤x＜9+3

3	3

時，S'＜0，S關于x為減函數；
當9+3

3	3

＜x≤30時，S'＞0，S關于x為增函數；
∴當x=9+3

3	3

時，S取得最小值．                       …（13分）
答：當AN長為9+3

3	3

m時，液晶廣告屏幕MNEF的面積S最小．…（14分）

點評：本題考查函數的應用，解題時要認真審題，注意挖掘題設條件中的隱含條件，合理地進行等價轉化．