Question

已知a＞0,a≠1,設(shè)

P:函數(shù)y=log_a(x+1)在x∈(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減；

Q:曲線y=x²+(2a-3)x+1與x軸交于不同的兩點(diǎn).

如果P和Q有且只有一個(gè)正確,求a的取值范圍.

Answer 1

解：當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)y=log_a(x+1)在（0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減;

當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)y=log_a(x+1)在（0，+∞）內(nèi)不是單調(diào)遞減函數(shù).

曲線y=x²+(2a-3)x+1與x軸交于不同的兩點(diǎn)等價(jià)于（2a-3)²-4＞0，

即a＜或a＞.

情形一：P正確，且Q不正確，即函數(shù)y=log_a(x+1)在（0，+∞)內(nèi)單調(diào)遞減;曲線y=x²+(2a-3)x+1與x軸不交于不同的兩點(diǎn)?

因此a∈(0,1)∩［］且a≠1,即a∈［,1］.

情形二：P不正確，且Q正確，即函數(shù)y=log_a(x+1)在（0，+∞）內(nèi)不是單調(diào)遞減函數(shù)，曲線y=x²+(2a-3)x+1與x軸交于不同的兩點(diǎn)，因此a＞1且a＜或a＞,即a＞.

綜上，a的取值范圍為［，1)∪（，+∞）.