Question

若函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a＞0）在R上無(wú)極值，則必有（ ）
A．b²-3ac＞0
B．a(chǎn)²-3bc＞0
C．b²-3ac≤0
D．a(chǎn)²-3bc＜0

Answer 1

【答案】分析：函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a＞0）在R上無(wú)極值，則其導(dǎo)數(shù)值非正或非負(fù)，由于其導(dǎo)數(shù)為開(kāi)口向上的二次函數(shù)，只須導(dǎo)函數(shù)相應(yīng)二次方程的判別式非正即可即可得到函數(shù)在R上無(wú)極值的條件．
解答：解：由已知f（x）=ax³+bx²+cx+d（a＞0）
其導(dǎo)函數(shù)為f'（x）=3ax²+2bx+c，
∵數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a＞0）在R上無(wú)極值
∴f'（x）=3ax²+2bx+c≥0恒成立
∴4b²-12ac≤0，即b²-3ac≤0
 即函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a＞0）在R上無(wú)極值 的條件是b²-3ac≤0
故選  C．
點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，考查函數(shù)沒(méi)有極值時(shí)導(dǎo)數(shù)的值域的數(shù)字特征，并將這一關(guān)系轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的不等式．本題在求解時(shí)用到了等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想．轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)中解決問(wèn)題的常用技巧，做完此題后要好好體會(huì)其方式．