Question

已知F₁、F₂是雙曲線 （a＞0，b＞0）的兩焦點，以線段F₁F₂為邊作正三角形MF₁F₂，若邊MF₁的中點在雙曲線上，則雙曲線的離心率是 （     ）                                                                                                         

A．4+

B．+1

C．—1

D．

Answer 1

B

分析：先根據雙曲線方程求得焦點坐標的表達式，進而可求得三角形的高，則點M的坐標可得，進而求得其中點N的坐標，代入雙曲線方程求得a，b和c的關系式化簡整理求得關于e的方程求得e．
解：依題意可知雙曲線的焦點為F₁（-c，0），F₂（c，0）
∴F₁F₂=2c
∴三角形高是c
M（0，c）
所以中點N（-，c）
代入雙曲線方程得：-=1
整理得：b²c²-3a²c²=4a²b²
∵b²=c²-a²
所以c⁴-a²c²-3a²c²=4a²c²-4a⁴
整理得e⁴-8e²+4=0
求得e²=4±2
∵e＞1，
∴e=+1
故選B