Question

等比數(shù)列{a_n}的公比為q，前n項的積為T_n，并且滿足a₁＞1，a₂₀₀₉•a₂₀₁₀-1＞0，（a₂₀₀₉-1）（a₂₀₁₀-1）＜0，給出下列結(jié)論①0＜q＜1；②a₂₀₀₉•a₂₀₁₁＜1；③T₂₀₁₀是T_n中最大的；④使得T_n＞1成立的最大的自然數(shù)是4018．其中正確結(jié)論的序號為 ______．（將你認(rèn)為正確的全部填上）

Answer 1

∵（a₂₀₀₉-1）（a₂₀₁₀-1）＜0
∴a₂₀₀₉＜1或a₂₀₁₀＜1
如果a₂₀₀₉＜1，那么a₂₀₁₀＞1
如果a₂₀₀₉＜0，那么q＜0
又a₂₀₁₀=a₁q²⁰⁰⁹，所以a₂₀₁₀應(yīng)與a₁異號，即a₂₀₁₀＜0
和前面a₂₀₁₀＞1的假設(shè)矛盾了
∴q＞0
又或者a₂₀₀₉＜1，a₂₀₁₀＞1，
那么a₂₀₀₉=a₁q²⁰⁰⁸應(yīng)該大于1
又矛盾了．因此q＜1
綜上所述 0＜q＜1，故①正確
a₂₀₀₉•a₂₀₁₁=a²₂₀₁₀＜1故②正確．，
由結(jié)論（1）可知數(shù)列從2010項開始小于1
∴T₂₀₀₉為最大項③不正確．
由結(jié)論1可知數(shù)列由2010項開始小于1，
T_n=a₁a₂a₃…a_n
∵數(shù)列從第2010項開始小于1，
∴當(dāng)T_n=（a²⁰⁰⁹）²時，T_n＞1成立的最大的自然數(shù)
求得n=4018，故④正確．
故答案為：①②④