Question

對于任意k∈[-1，1]，函數(shù)f（x）=x²+（k-4）x-2k+4的值恒大于零，則x的取值范圍是（）

• A、x＜0
• B、x＞4
• C、x＜1或x＞3
• D、x＜1

Answer 1

分析：由函數(shù)的解析式得到此函數(shù)圖象是開口向上的拋物線，根據(jù)對稱軸公式x=-

b

2a

表示出此函數(shù)的對稱軸，得到對稱軸是關(guān)于k的減函數(shù)，二次函數(shù)的值恒大于0，即可當(dāng)k取最小值-1時(shí)，對稱軸在最右邊，把k=-1代入f（x）的解析式中求出函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，即要x大于函數(shù)與x軸的右交點(diǎn)；當(dāng)k取最大值1時(shí)，對稱軸在最左邊，把k=1代入f（x）解析式中求出函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，即要x小于函數(shù)與x軸的左交點(diǎn)，即可得到x的取值范圍．

解答：解：根據(jù)題意可知：
二次函數(shù)的對稱軸為x=-

k-4

2

=

-k+4

2

，
設(shè)g（k）=

-k+4

2

，得到g（k）在k∈[-1，1]時(shí)為減函數(shù)，
當(dāng)k=-1時(shí)，f（x）=x²-5x+6，令y=0，變形為（x-2）（x-3）=0，解得x=3或x=2，
因?yàn)閤的值大于函數(shù)與x軸的右交點(diǎn)，得到x＞3；
當(dāng)k=1時(shí)，f（x）=x²-3x+2，令y=0，變形為（x-1）（x-2）=0，解得x=1或x=2，
因?yàn)閤的值小于函數(shù)與x軸的左交點(diǎn)，得到x＜1．
綜上，滿足題意x的范圍為x＜1或x＞3．
故選C

點(diǎn)評：此題考查學(xué)生掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，掌握不等式恒成立時(shí)所滿足的條件，是一道中檔題．