Question

對于任意k∈[-1，1]，函數f（x）=x²+（k-4）x-2k+4的值恒大于零，則x的取值范圍是（）
A．x＜0
B．x＞4
C．x＜1或x＞3
D．x＜1

Answer 1

【答案】分析：由函數的解析式得到此函數圖象是開口向上的拋物線，根據對稱軸公式x=-表示出此函數的對稱軸，得到對稱軸是關于k的減函數，二次函數的值恒大于0，即可當k取最小值-1時，對稱軸在最右邊，把k=-1代入f（x）的解析式中求出函數與x軸的交點，即要x大于函數與x軸的右交點；當k取最大值1時，對稱軸在最左邊，把k=1代入f（x）解析式中求出函數與x軸的交點，即要x小于函數與x軸的左交點，即可得到x的取值范圍．
解答：解：根據題意可知：
二次函數的對稱軸為x=-=，
設g（k）=，得到g（k）在k∈[-1，1]時為減函數，
當k=-1時，f（x）=x²-5x+6，令y=0，變形為（x-2）（x-3）=0，解得x=3或x=2，
因為x的值大于函數與x軸的右交點，得到x＞3；
當k=1時，f（x）=x²-3x+2，令y=0，變形為（x-1）（x-2）=0，解得x=1或x=2，
因為x的值小于函數與x軸的左交點，得到x＜1．
綜上，滿足題意x的范圍為x＜1或x＞3．
故選C
點評：此題考查學生掌握二次函數的圖象與性質，掌握不等式恒成立時所滿足的條件，是一道中檔題．