Question

在△ABC中，a、b、c為角A、B、C所對的三邊，已知a²-（b-c）²=bc．
（1）求角A；
（2）若BC=2

3

，內角B等于x，周長為y，求y=f（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）在△ABC中，由 a²-（b-c）²=bc 利用余弦定理可得 cosA=

b2+ c2-a 2

2bc

=

1

2

，A=

π

3

．
（2）由正弦定理可得 AC=

BC

sin π 3

•six=4sinx，同理：AB=4sin（

2π

3

-x），從而有 y=4

3

sin（x+

π

6

）+2

3

．再根據 x+

π

6

∈（

π

6

，

5π

6

），求出y=f（x）的最大值．

解答：解：（1）在△ABC中，由 a²-（b-c）²=bc 可得 a²-b²-c²=-bc，∴cosA=

b2+ c2-a 2

2bc

=

1

2

，∴A=

π

3

．
（2）∵

AC

sinx

=

BC

sinA

，
∴AC=

BC

sin π 3

•six=4sinx．
同理：AB=

BC

sinA

 sinC=4sin（

2π

3

-x），
∴y=4sinx+4sin（

2π

3

-x）+2

3

=4

3

sin（x+

π

6

）+2

3

．
∵A=

π

3

，∴0＜B=x＜

2π

3

，∴x+

π

6

∈（

π

6

，

5π

6

），
故當x+

π

6

=

π

2

時，函數y有最大值為6

3

．

點評：本題主要考查正弦定理、余弦定理的應用，正弦函數的定義域和值域，屬于中檔題．