Question

（1）已知矩陣M=

2 0 0 1 2

，矩陣M對應的變換把曲線y=x²變為曲線C，求C的方程．
（2）已知a，b，c為正實數，求證：

1

a3

+

1

b3

+

1

c3

+abc≥2

3

．

Answer 1

分析：（1）設出曲線C上的任意一點P點，和曲線y=x²上的一點P₀根據矩陣M對應的變換求出P點與P₀點的關系，從而求出C的方程．
（2）利用整體思想進行求解，據平均值不等式可得

1

a3

+

1

b3

+

1

c3

≥

3

abc

，兩邊再加上abc，然后再利用平均值不等式，即可求證．

解答：解：（1）設P（x，y）是所求曲線C上的任意一點，它是曲線y=x²上的點P₀（x₀，y₀）在矩陣M變換下的對應點，
則有（x，y）=（x₀，y₀）M，
∵矩陣M=

2 0 0 1 2

，代入可得

x=2x0 y= 1 2 y0

，
∴

x0= 1 2 x y0=2y

，
∵點P₀在曲線y=x²上，
∴2y=

1

4

x²，
∴C的方程為x²=8y；
（2）由于a，b，c為正實數，根據平均值不等式可得

1

a3

+

1

b3

+

1

c3

≥

3

abc

，
∴

1

a3

+

1

b3

+

1

c3

+abc≥

3

abc

+abc≥2

3

，
即證．

點評：此題考查了二階矩陣的變換和均值不等式的應用，要熟練掌握這方面的知識，這是高考的熱點問題．