Question

（1）已知矩陣M=

2a 21

，其中a∈R，若點P（1，-2）在矩陣M的變換下得到點P'（-4，0）
（i）求實數a的值；
（ii）求矩陣M的特征值及其對應的特征向量．
（2）在平面直角坐標系xOy中，動圓x²+y²-8xcosθ-6ysinθ+7cos²θ+8=0（a∈R）的圓心為P（x₀，y₀），求2x₀-y₀的取值范圍．
（3）已知a，b，c為實數，且a+b+c+2-2m=0，a²+

1

4

b2+

1

9

c2+m-1=0．
①求證：a²+

1

4

b2+

1

9

c2≥

(a+b+c)2

14

；
②求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）（i）點P（1，-2）在矩陣M的變換下得到點P'（-4，0），利用二階矩陣與平面列向量的乘法可求實數a的值；
（ii）先求矩陣M的特征多項式f（λ），令f（λ）=0，從而可得矩陣M的特征值，進而可求特征向量．
（2）先將圓的一般式方程轉化成圓的標準方程，從而求出圓心的參數方程，利用參數方程將2x+y表示成8cosθ-3sinθ，然后利用輔助角公式求出8cosθ-3sinθ的取值范圍即可；
（3）①根據柯西不等式直接證明即可；
②將①中的a、b、c用等式a+b+c+2-2m=0，a²+

1

4

b2+

1

9

c2+m-1=0．代入，消去a、b、c得到關于m的不等關系，解之即可求出m的范圍．

解答：解：（1）（i）由

2 a 2 1

1 -2

=

-4 0

，∴2-2a=-4⇒a=3．
（ii）由（i）知M=

2 3 2 1

，則矩陣M的特征多項式為
f（λ）=

λ-2 3 2 λ-1

=（λ-2）（λ-1）-6=λ²-3λ-4
令f（λ）=0，得矩陣M的特征值為-1與4．
當λ=-1時，

(λ-2)x-3y=0 -2x+(λ-1)y=0

⇒x+y=0
∴矩陣M的屬于特征值-1的一個特征向量為

1 -1

；
當λ=4時，

(λ-2)x-3y=0 -2x+(λ-1)y=0

⇒2x-3y=0
∴矩陣M的屬于特征值4的一個特征向量為

3 2

．
（2）將圓的方程整理得：（x-4cosθ）²+（y-3sinθ）²=1
由題設得 x₀=4cosθ，y₀=3sinθ（θ為參數，θ∈R）．
所以2x₀-y₀=8cosθ-3sinθ=

73

cos（θ+φ），
所以-

73

≤2x₀-y₀≤

73

．
（3）：①根據柯西不等式可得（a²+

b2

4

+

c2

9

）（1+2²+3²）≥（a×1+

b

2

×2+

c

3

×3）²=（a+b+c）²
∴a2+

1

4

b2+

1

9

c2≥

(a+b+c)2

14

．
②∵a+b+c+2-2m=0，a²+

b2

4

+

c2

9

+m-1=0
∴1-m≥

(2m-2)2

14

解得：-

5

2

≤m≤1．

點評：（1）本小題主要考查二階矩陣與平面列向量的乘法，考查矩陣M的特征值及其對應的特征向量． 關鍵是寫出特征多項式，從而求得特征值．
（2）本題主要考查了圓的方程，以及三角函數模型的應用問題和輔助角公式的應用，同時考查了計算能力，屬于基礎題．（3）本題主要考查來了逆矩陣與投影變換，以及圓的參數方程和直線的參數方程，以及不等式的證明等基礎知識，是一道綜合題，屬于中檔題．