Question

如圖所示,在棱長為1的正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中,E、F分別是D₁D、BD的中點，G在棱CD上，且CG=CD,H是C₁G的中點，應用空間向量辦法解決下列問題.

（1）求證：EF⊥B₁C;

（2）求EF與C₁G所成角的余弦值；

（3）求FH的長.

Answer 1

解析:如圖建立空間直角坐標系D—xyz,

則E(0,0, ),F(,,0),C(0,1,0)，C₁(0,1,1),B₁(1,1,1),G(0, ,0).

（1）=(,,0)-(0,0, )=(,,-),

=(0,1,0)-(1,1,1)=(-1,0,-1).

·=(,,-)(-1,0,-1)=0.

∴⊥.∴EF⊥B₁C.

（2）=(0,,0)-(0,1,1)=(0,-,-1),

||=.

由（1）得||=且·=.

∴cos〈,〉=.

（3）∵H是的中點，H(),即(0,,),又F(,,0),

∴FH=||=.