Question

已知線段，CD的中點為O，動點A滿足AC+AD=2a（a為正常數）．
（1）建立適當的直角坐標系，求動點A所在的曲線方程；
（2）若a=2，動點B滿足BC+BD=4，且OA⊥OB，試求△AOB面積的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先以O為圓心，CD所在直線為軸建立平面直角坐標系，對開2a與2的大小關系進行分類討論，從而即可得到動點A所在的曲線；
（2）當a=2時，其曲線方程為橢圓，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），OA的斜率為k（k≠0），則OA的方程為y=kx，將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合涉及弦長問題，常用“韋達定理法”設而不求計算弦長（即應用弦長公式），求得△AOB面積，最后求出面積的最大值即可，從而解決問題．
解答：解：（1）以O為圓心，CD所在直線為軸建立平面直角坐標系
若，即，動點A所在的曲線不存在；
若，即，動點A所在的曲線方程為；
若，即，動點A所在的曲線方程為（4分）
（2）當a=2時，其曲線方程為橢圓
由條件知A，B兩點均在橢圓上，且OA⊥OB
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），OA的斜率為k（k≠0），
則OA的方程為y=kx，OB的方程為，解方程組，得，
同理可求得，，
△AOB面積=（8分）
令1+k²=t（t＞1）則
令所以，即
當k=0時，可求得S=1，故，故S的最小值為，最大值為1（12分）
點評：本小題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題、基本不等式、橢圓方程等基礎知識，考查運算求解能力、化歸與轉化思想．涉及弦長問題，常用“韋達定理法”設而不求計算弦長（即應用弦長公式）．屬于中檔題．