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已知線段,CD的中點為O,動點A滿足AC+AD=2a(a為正常數).
(1)求動點A所在的曲線方程;
(2)若存在點A,使AC⊥AD,試求a的取值范圍;
(3)若a=2,動點B滿足BC+BD=4,且AO⊥OB,試求△AOB面積的最大值和最小值.
【答案】分析:(1)以O為圓心,CD所在直線為x 軸建立平面直角坐標系,利用橢圓的定義判斷曲線類型,并求得曲線方程.
(2)由(Ⅰ)知,以O為圓心,為半徑的圓與橢圓有公共點,故,解出a的取值范圍.
(3)當a=2時,求出OA和OB的長度,代入∴△AOB面積=,令1+k2=t(t>1),,令,求得g(t)的范圍,即得S的最值.
解答:解:(1)以O為圓心,CD所在直線為x 軸建立平面直角坐標系,
,即,動點A所在的曲線不存在;
,即,動點A所在的曲線方程為
,即,動點A所在的曲線方程為
(2)由(Ⅰ)知,要存在點A,使AC⊥AD,則以O為圓心,為半徑的圓與橢圓有公共點,
,所以,a的取值范圍是
(3)當a=2時,其曲線方程為橢圓,由條件知A,B兩點均在橢圓上,且AO⊥OB.
設A(x1,y1),B(x2,y2),OA的斜率為k(k≠0),則OA的方程為y=kx,OB的方程為
解方程組,得,同理可求得
∴△AOB面積=
令1+k2=t(t>1),則
,所以,,即
當OA與坐標軸重合時S=1,于是,△AOB面積的最大值和最小值分別為1與
點評:本題考查橢圓的定義,直線和圓錐曲線的位置關系,求出△AOB的面積 是解題的難點.
練習冊系列答案
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