Question

若干個能惟一確定一個數列的量稱為該數列的“基本量”．設{a_n}是公比為q的無窮等比數列，下列{a_n}的四組量中，一定能成為該數列“基本量”的是第

 

組．（寫出所有符合要求的組號）
①S₁與S₂；②a₂與S₃；③a₁與a_n；④q與a_n．（其中n為大于1的整數，S_n為{a_n}的前n項和．）

Answer 1

分析：由根據等差數列性質可知，利用S₁和S₂，可知a₁和a₂．由

a2

a1

可得公比q，故能確定數列是該數列的“基本量”；
由a₂與S₃，設其公比為q，首項為a₁，可得把a₁和S₃代入整理得a₂q²+（a₂-S₃q）+a₂=0
q不能確定，不一定是數列 的基本量；
由a₁與a_n，可得a_n=a₁q^n-1，當n為奇數時，q可能有兩個值，故不一定能確定數列；
根據等比數列通項公式，數列{a_n} 能夠確定，是數列{a_n} 的一個基本量．

解答：解：（1）由S₁和S₂，可知a₁和a₂．由

a2

a1

可得公比q，故能確定數列是該數列的“基本量”①對；
（2）由a₂與S₃，設其公比為q，首項為a₁，可得a₂=a₁q，a₁=

a2

q

，S₃=a₁+a₁q+a₁q²，
∴S₃=

a2

q

+a₂+a₂q，∴a₂q²+（a₂-S₃q）+a₂=0；
滿足條件的q可能不存在，也可能不止一個，因而不能確定數列，故不一定是數列 的基本量，②不對；
（3）由a₁與a_n，可得a_n=a₁q^n-1，當n為奇數時，q可能有兩個值，故不一定能確定數列，所以也不一定是數列的一個基本量．
（4）由q與a_n由a_n=a₁q^n-1，故數列{a_n} 能夠確定，是數列{a_n} 的一個基本量；
故答案為①④

點評：本題主要考查等比數列的性質．考查了學生分析問題和解決問題的能力．