Question

已知函數．
（1）設（其中是的導函數），求的最大值；
（2）求證: 當時，有；
（3）設,當時,不等式恒成立，求的最大值.

Answer 1

(1) 取得最大值；（2）；
（3）整數的最大值是.

試題分析：（1）先求，根據導數判斷函數的單調性，再利用單調性求函數的最大值；
（2）當時，有，再根據（1）中有則，所以；
（3）將不等式先轉化為，再利用導數求的最小值，因為，結合（1）中的，則，
所以函數在上單調遞增．因為，
所以方程在上存在唯一實根，且滿足．
當，即，當，即，
所以函數在上單調遞減，在上單調遞增．
所以．
所以．故整數的最大值是.  
試題解析：(1）, 
所以 ．
當時，；當時，．
因此，在上單調遞增，在上單調遞減．
因此，當時，取得最大值；
（2）當時，．由（1）知：當時，，即．
因此，有．
（3）不等式化為 
所以對任意恒成立．令，
則，令，則，
所以函數在上單調遞增．因為，
所以方程在上存在唯一實根，且滿足．
當，即，當，即，
所以函數在上單調遞減，在上單調遞增．
所以．
所以．故整數的最大值是.  ，通過放縮法證明不等式；3、恒成立問題，可轉化為成立；4、利用導數求函數零點，解決函數的綜合問題，要求學生有較高的邏輯思維能力與數學素養.