Question

已知y=f（x）是定義在（-∞，+∞）上的奇函數，且在［0，+∞）上為增函數，

（1）求證：函數在（-∞，0）上也是增函數；

（2）如果f（）=1，解不等式-1＜f（2x+1）≤0.

Answer 1

解析：證明函數的單調性，通常利用單調性的定義進行證明；對抽象不等式，常把常數看成某些變量的函數值，再利用函數的性質去“外層包裝”，取出x，化成一元一次或二次不等式求解.

（1）證明：設x₁、x₂是（-∞，0］上任意兩個不相等的實數，且x₁＜x₂，

則-x₁，-x₂∈［0，+∞），且-x₁＞-x₂，Δx=x₂-x₁＞0，Δy=f（x₂）-f（x₁）.

∵f（x）是奇函數，且在［0，+∞）上是增函數，-x₁＞-x₂，

∴f（-x₁）＞f（-x₂）.

又∵f（x）為奇函數，∴f（-x₁）=-f（x₁），

f（-x₂）=-f（x₂）.

∴-f（x₁）＞-f（x₂），即f（x₁）＜f（x₂），

即Δy=f（x₂）-f（x₁）＞0.

∴函數f（x）在（-∞，0］上也是增函數.

（2）解：∵f（x）是R上的奇函數，

∴f（0）=0，f（-）=-f（）=-1.

由-1＜f（2x+1）≤0，得f（-）＜f（2x+1）≤f（0）.

又∵f（x）在（-∞，0）上是增函數，∴-＜2x+1≤0，

得-＜x≤-.

∴不等式的解集為{x|-＜x≤-}.