Question

已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁底面邊長AB=2，側棱BB₁的長為4，過點B作B₁C的垂線交側棱CC₁于點E，交線段B₁C于點F．以D為原點，DA、DC、DD₁所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系D-xyz，如圖．
（Ⅰ）求證：A₁C⊥平面BED；
（Ⅱ）求A₁B與平面BDE所成角的正弦值的大小．

Answer 1

分析：（I）由已知中，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁底面邊長AB=2，側棱BB₁的長為4，我們易求出正四棱柱中各頂點的坐標，設E（0，2，t），根據BE⊥B₁C，我們易由它們的方向向量數量積為0，構造關于t的方程，求出t值，然后根據向量數量為0，向量垂直，對應的線段也垂直，可證得直線A₁C與BE，BD均垂直，再由線面垂直的判定定理得到A₁C⊥平面BED；
（Ⅱ）由（1）中結論，我們可得

A1C

=(-2，2，-4)是平面BDE的一個法向量，再求出直線A₁B的方向向量，代入向量夾角公式，即可得到A₁B與平面BDE所成角的正弦值的大小．

解答：解：（Ⅰ）D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A₁（2，0，4），B₁（2，2，4），
C₁（0，2，4），D₁（0，0，4）
設E（0，2，t），則

BE

=(-2，0，t)，

B1C

=(-2，0，-4)．
∵BE⊥B₁C，
∴

BE

•

B1C

=4+0-4t=0．
∴t=1．
∴E（0，2，1），

BE

=(-2，0，1)．
∵

A1C

=(-2，2，-4)，

DB

=(2，2，0)，
∴

A1C

•

BE

=4+0-4=0且

A1C

•

DB

=-4+4+0=0，
∴

A1C

⊥

BD

且

A1C

⊥

BE

，
∴

A1C

⊥平面BDE．                    
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

A1C

=(-2，2，-4)是平面BDE的一個法向量，
∵

A1B

=(0，2，-4)，
∴cos?

A1C

，

A1B

＞=

A1C • A1B

| A1C || A1B |

=

20

24 20

=

30

6

，
∴A₁B與平面BDE所成角的正弦值為

30

6

．

點評：本題考查的知識點是用空間向量求直線與平面的夾角，向量語言表述線面的垂直、平行關系，其中建立空間坐標系，將空間線面的夾角及垂直、平行問題轉化為向量夾角問題是解答此類問題的關鍵．