Question

已知橢圓x2+

y2

b2

=1(0＜b＜1)的左焦點為F，左、右頂點分別為A、C，上頂點為B，過F，B，C三點作⊙P，且圓心在直線x+y=0上，求此橢圓的方程．

Answer 1

分析：根據圓的性質，得圓心P在FC的垂直平分線與BC的垂直平分線的交點．因此分別算出FC、BC的垂直平分線方程，得到它們的交點為P（

1-c

2

，

b2-c

2b

），代入直線x+y=0解出b2=

1

2

，即可得出此橢圓的方程．

解答：解：設圓心P的坐標為（m，n）．
∵⊙P過點F、B、C三點，∴圓心P既在FC的垂直平分線上，也在BC的垂直平分線上，
FC的垂直平分線方程為x=

1-c

2

．-----------①
∵BC的中點為(

1

2

，

b

2

)，k_BC=-b，
∴BC的垂直平分線方程為y-

b

2

=

1

b

(x-

1

2

)，----------②
由①、②聯解，得x=

1-c

2

，y=

b2-c

2b

，即m=

1-c

2

，n=

b2-c

2b

．
∵P（m，n）在直線x+y=0上，∴

1-c

2

+

b2-c

2b

=0，可得（1+b）（b-c）=0．
∵1+b＞0，
∴b=c，結合b²=1-c²得b2=

1

2

，
∴橢圓的方程為x2+

y2

1 2

=1，即x²+2y²=1．

點評：本題給出橢圓滿足的條件，求橢圓的方程．著重考查了直線的方程、直線與圓的位置關系和橢圓的簡單幾何性質等知識，屬于中檔題．