Question

拋物線的頂點在原點，以x軸為對稱軸，經過焦點且傾斜角為135°的直線被拋物線所截得的弦長為8，試求拋物線方程．

Answer 1

分析：依題意，設拋物線方程為y²=2px，可求得過焦點且傾斜角為135°的直線方程為y=-x+

1

2

p，利用拋物線的定義結合題意可求得p，從而可求得拋物線方程；同理可求拋物線方程為y²=-2px時的結果．

解答：解：如圖所示，依題意，設拋物線方程為y²=2px，則直線方程為y=-x+

1

2

p．設直線交拋物線于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點，過A、B分別作準線的垂線，垂足分別為C、D．
則由拋物線定義得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|
=x₁+

p

2

+x₂+

p

2

，（4分）
即x₁+

p

2

+x₂+

p

2

=8．①
又A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）是拋物線和直線的交點，
由

y=-x+ 1 2 p y2=2px

消去y，得x²-3px+

p2

4

=0，
∵△=9p²-4×

p2

4

=8p²＞0．
∴x₁+x₂=3p．
將其代入①得p=2，
∴所求拋物線方程為y²=4x．
當拋物線方程設為y²=-2px（p＞0）時，
同理可求得拋物線方程為y²=-4x．
故所求拋物線方程為y²=4x或y²=-4x．（8分）

點評：本題考查拋物線的標準方程，突出拋物線定義得應用，考查方程組思想與化歸思想的綜合運用，考查分析與運算能力，屬于中檔題．