Question

【題目】在四棱錐P﹣ABCD中， ， ，△PAB和△PBD都是邊長為2的等邊三角形，設P在底面ABCD的射影為O．
（1）求證：O是AD中點；
（2）證明：BC⊥PB；
（3）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵△PAB和△PBD都是等邊三角形，

∴PA=PB=PD，

又∵PO⊥底面ABCD，

∴OA=OB=OD，

則點O為△ABD的外心，又因為△ABD是直角三角形，

∴點O為AD中點

（2）證明：由（1）知，點P在底面的射影為點O，點O為AD中點，

于是PO⊥面ABCD，

∴BC⊥PO，

∵在Rt△ABD中，BD=BA，OB⊥AD，

∴ ，

又 ，∴ ，

從而 即CB⊥BO，

由BC⊥PO，CB⊥BO得CB⊥面PBO，

∴BC⊥PB

（3）解：以點O為原點，以OB，OD，OP所在射線為x軸，y軸，z軸建系如圖，

∵AB=2，則O（0，0，0）， ， ， ， ， ， ， ， ，

設面PAB的法向量為 ，則 ， ，得 ， ，

取x=1，得y=﹣1，z=1，

故 ．

設面PBC的法向量為 ，則 ， ，得s=0， ，

取r=1，則t=1，故 ，

于是 ，

由圖觀察知A﹣PB﹣C為鈍二面角，

所以該二面角的余弦值為-

【解析】（1）證明PO⊥底面ABCD，說明點O為△ABD的外心，然后判斷點O為AD中點．（2）證明PO⊥面ABCD，推出BC⊥PO，證明CB⊥BO，BC⊥PO，證明CB⊥面PBO，推出BC⊥PB．（3）以點O為原點，以OB，OD，OP所在射線為x軸，y軸，z軸建系，求出相關點的坐標，平面PAB的法向量，平面PBC的法向量，利用空間向量的數量積求解所以該二面角的余弦值即可．
【考點精析】利用直線與平面垂直的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知垂直于同一個平面的兩條直線平行．