Question

【題目】如圖1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E，F，O分別為DC，AE，BC的中點．以AE為折痕把△ADE折起，使點D到達點P的位置，且平面PAE⊥平面ABCE（如圖2）．

（Ⅰ）求證：BC⊥平面POF；

（Ⅱ）求直線PA與平面PBC所成角的正弦值；

（Ⅲ）在線段PE上是否存在點M，使得AM∥平面PBC？若存在，求的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）見解析

【解析】

（I）由面面垂直的性質定理得PF⊥平面ABCE，可得PF⊥BC，結合BC⊥OF，可得BC⊥平面POF；

（II）建立空間直角坐標系，計算平面PBC的法向量，通過計算法向量與的夾角得出線面角的正弦值；

（III）設則，令，計算λ的值得出結論．

（Ⅰ）在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E是CD中點，所以DA＝DE，即PA＝PE，

又F為AE的中點，所以PF⊥AE，又平面PAE⊥平面ABCE，平面PAE∩平面ABCE＝AE，

PF平面PAE，所以PF⊥平面ABCE，BC平面ABCE，所以PF⊥BC，

由F，O分別為AE，BC的中點，易知FO∥AB，所以OF⊥BC，所以BC⊥平面POF，

（Ⅱ）過點O做平面ABCE的垂線OZ，以O為原點，分別以OF，OB，OZ為x，y，z軸建立坐標系O﹣xyz，

則

∴，設平面PBC的法向量為

由得，令z＝3得，

，

所以直線PA與平面PBC所成角的正弦值.

（Ⅲ）在線段PE上不存在點M，使得AM∥平面PBC．證明如下：

點M在線段PE上，設則， ,

若AM∥平面PBC，則，

由得，解得λ＝2[0，1]

所以在線段PE上不存在點M，使得AM∥平面PBC．