Question

如圖：已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是正方形，O₁、O分別是上、下底面的中心，A₁O⊥平面ABCD．
（1）求證：平面O₁DC⊥平面ABCD；
（2）若點E在棱AA1上，且AE=2EA₁，問在棱BC上是否存在點F，使得EF⊥BC？若存在，求出其位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

證明：（1）連接AC、BD、A₁C₁則AC、BD的交點，O₁為A₁C₁中點
∴四邊形ACC₁A₁為平行四邊形，
∴四邊形A₁O₁CO為平行四邊形（2分）
∴A₁O∥CO₁
∵A₁O⊥平面ABCD
∴O₁C⊥平面ABCD（4分）
∵O₁C?平面O₁DC
∴平面O₁DC⊥平面ABCD（5分）
（2）F為BC的三等分點B（靠近B）時，有EF⊥BC（6分）
過點E作EH⊥AC于H，連FH、EF
∵平面A₁AO⊥平面ABCD
∴EH⊥平面ABCD
又BC?平面ABCD∴BC⊥EH①
∵
∴，又∵
∴HF∥AB∴HF⊥BC，②
由①②知，BC⊥平面EFH，
∵EF?平面EFH，
∴EF⊥BC（12分）
分析：（1）先證明A₁O∥CO₁，再利用A₁O⊥平面ABCD?O₁C⊥平面ABCD?平面O₁DC⊥平面ABCD；
（2）由AE=2EA₁，猜想F為BC的三等分點B（靠近B）時，有EF⊥BC，再利用EH⊥平面ABCD證得BC⊥EH．又可得HF∥AB?HF⊥BC，就可推得結論．
點評：本題考查平面和平面垂直的判定和性質以及探究點的位置問題．在證明面面垂直時，其常用方法是在其中一個平面內找兩條相交直線和另一平面內的某一條直線垂直