Question

某公司通過報紙和電視兩種方式做銷售某種商品的廣告，根據統計資料，銷售收入R（萬元）與報紙廣告費用x₁（萬元）及電視廣告費用x₂（萬元）之間的關系有如下經驗公式：R=-2x₁²-x₂²+13x₁+11x₂-28．
（1）若提供的廣告費用共為5萬元，求怎樣分配廣告費用才能使公司收益最大？（其中收益=銷售收入-廣告費用）；
（2）在廣告費用不限的情況下，求該公司的最大收益．

Answer 1

考點：根據實際問題選擇函數類型

專題：函數的性質及應用

分析：（1）依題意推出x₂=5-x₁，推出收益y的表達式，利用二次函數平方即可求出最大值，
（2）收益y=R-（x₁+x₂），化簡平方，通過函數的最值，即可求出當x₁=3，x₂=5時，公司收益最大．

解答： （本小題滿分14分）
解：（1）依題意x₁+x₂=5，x₂=5-x₁，
∴R=-2x12-x22+13x1+11x2-28=-2x12-(5-x1)2+13x1+11(5-x1)-28=-3x12+12x1+2（0≤x₁≤5），-------------（3分）
∴收益y=R-5=-3x12+12x1-3=-3(x1-2)2+9≤9，
當且僅當x₁=2時取等號．-------------（6分）
∴當報紙廣告費用為2萬元，電視廣告費用為3萬元時，公司收益最大．-------（8分）
（2）收益y=R-（x₁+x₂）=-2x12-x22+13x1+11x2-28-(x1+x2)=-2(x1-3)2-(x2-5)2+15≤15，----------（12分）
當且僅當x₁=3，x₂=5時取等號．
∴當報紙廣告費用為3萬元，電視廣告費用為5萬元時，公司收益最大．--------（14分）

點評：本題考查函數的解析式的應用，二次函數的最值的求法，考查分析問題解決問題的能力．