Question

已知y=f(x)(x∈D，D為此函數的定義域)同時滿足下列兩個條件：①函數f(x)在D內單調遞增或單調遞減；②如果存在區間[a，b]D，使函數f(x)在區間[a，b]上的值域為[a，b]，那么稱y=f(x)，x∈D為閉函數；請解答以下問題：
（1）求閉函數y=-x³符合條件②的區間；
（2）判斷函數是否為閉函數？并說明理由；
（3）若y=k+(k＜0)是閉函數，求實數k的取值范圍。

Answer 1

解：（1）先證y=-x³符合條件①：對于任意，且，
有
，
∴，故y=-x³是R上的減函數，
由題意得：，則，
∴而，
∴a+b=0，
又b＞a，
∴a=-1，b=1，即所求區間為[-1，1]。
（2）當在上單調遞減，在上單調遞增，（證明略）；
所以，函數在定義域上不是單調遞增或單調遞減函數，從而該函數不是閉函數。
（3）易知是上的增函數，符合條件①；
設函數符合條件②的區間為，
則，故a，b是的兩個不等根，
即方程組 有兩個不等非負實根；
設為方程的二根，則，
解得：，
∴k的取值范圍是。