Question

已知函數f（x）=2cos²

x

2

-

3

sinx
（1）求函數f（x）的最小正周期和值域；
（2）若α為第二象限角，且cosα=-

1

3

，求

cos2a

1+cos2a-sin2a

的值．

Answer 1

分析：題干錯誤：求

cos2a

1+cos2a-sin2a

的值，應該是：求

cos2α

1+cos2α-sin2α

的值
（1）利用三角函數的恒等變換化簡函數f（x）的解析式為  1+2cos（x+

π

3

），由此求得函數的周期和值域．
（2）由于α為第二象限角，且cosα=-

1

3

，可得inα=

2 2

3

，再由 

cos2α

1+cos2α-sin2α

=

cos2α-sin2α

2cos2α-2sinαcosα

=

cosα+sinα

2cosα

，運算求得結果．

解答：解：（1）函數f（x）=2cos²

x

2

-

3

sinx=1+cosx-

3

sinx=1+2（

1

2

cosx-

3

2

sinx）=1+2cos（x+

π

3

），
故函數的周期為

2π

1

=2π，值域為[-1，3]．
（2）由于α為第二象限角，且cosα=-

1

3

，∴sinα=

2 2

3

，
故 

cos2α

1+cos2α-sin2α

=

cos2α-sin2α

2cos2α-2sinαcosα

=

cosα+sinα

2cosα

=

- 1 3 + 2 2 3

2×(- 1 3 )

=

1-2 2

2

．

點評：本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值，三角函數的值域、周期性和求法，屬于中檔題．