Question

已知橢圓的一個焦點F₁(0，－2)，對應的準線方程為y＝－，且離心率e滿足：，e，成等比數列．
(1)求橢圓方程；
(2)是否存在直線l，使l與橢圓交于不同的兩點M、N，且線段MN恰被直線x＝－
平分．若存在，求出l的傾斜角的范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）x²＋y²＝1；（2）存在，直線l傾斜角α∈(，)∪(，)。

依題意e＝．
(1)∵－c＝
∴a＝3，c＝2，b＝1，
又F₁(0，－2)，對應的準線方程為y＝－．
∴橢圓中心在原點，所求方程為x²＋y²＝1                       
(2)假設存在直線l，依題意l交橢圓所得弦MN被x＝－平分，∴直線l的斜率
存在．設直線l：y＝kx＋m
由 消去y，整理得
(k²＋9)x²＋2kmx＋m²－9＝0
∵l與橢圓交于不同的兩點M，N，
∴Δ＝4k²m²－4(k²＋9)(m²－9)＞0
即m²－k²－9＜0                 ①
設M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)
∴，                                         
∴m＝               ②
把②代入①式中得
－(k²＋9)＜0
∴k＞或k＜－
∴直線l傾斜角α∈(，)∪(，)