Question

【題目】點A，B，C，D在同一個球的球面上，AB=BC=2，AC=2 ，若四面體ABCD體積的最大值為 ，則該球的表面積為（ ）
A.
B.8π
C.9π
D.12π

Answer 1

【答案】C
【解析】解：根據題意知，△ABC是一個直角三角形，其面積為2．其所在球的小圓的圓心在斜邊AC的中點上，設小圓的圓心為Q，四面體ABCD的體積的最大值，由于底面積S△ABC不變，高最大時體積最大，
所以，DQ與面ABC垂直時體積最大，最大值為 ×S△ABC×DQ= ，
S△ABC= ACBQ= =2．
即 × ×DQ= ，∴DQ=2，如圖．
設球心為O，半徑為R，則在直角△AQO中，
OA2=AQ2+OQ2 ， 即R2=（ ）2+（2﹣R）2 ， ∴R=
則這個球的表面積為：S=4π（ ）2=9π；
故選：C．