Question

【題目】如圖，邊長為a的等邊三角形ABC的中線AF與中位線DE交于點G，已知△A′DE（A′平面ABC）是△ADE繞DE旋轉過程中的一個圖形，有下列命題： ①平面A′FG⊥平面ABC；
②BC∥平面A′DE；
③三棱錐A′﹣DEF的體積最大值為 a3；
④動點A′在平面ABC上的射影在線段AF上；
⑤二面角A′﹣DE﹣F大小的范圍是[0， ]．
其中正確的命題是（寫出所有正確命題的編號）

Answer 1

【答案】①②③④
【解析】解：①由已知可得四邊形ADEF是菱形，則DE⊥GA′，DE⊥GF， ∴DE⊥平面A′FG，∴平面A′FG⊥平面ABC，①正確；
②由三角形中位線定理可得BC∥DE，∴BC∥平面A′DE，∴②正確；
③當面A′DE⊥面ABC時，三棱錐A′﹣DEF的體積達到最大，
最大值為 = ，③正確；
④由平面A′FG⊥平面ABC，可知點A′在面ABC上的射影在線段AF上，∴④正確；
⑤在旋轉過程中二面角A′﹣DE﹣F大小的范圍是[0，π]，∴⑤不正確．
所以答案是：①②③④．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解命題的真假判斷與應用的相關知識，掌握兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系，以及對直線與平面平行的判定的理解，了解平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．