Question

已知直線（1+3m）x-（3-2m）y-（1+3m）=0（m∈R）所經過的定點F恰好是橢圓C的一個焦點，且橢圓C上的點到點F的最大距離為3．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）設過點F的直線l交橢圓于A、B兩點，若，求直線l的斜率的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）由（1+3m）x-（3-2m）y-（1+3m）=0得（x-3y-1）+m（3x+2y-3）=0，
由，解得F（1，0）．
設橢圓C的標準方程為，則
解得，
從而橢圓C的標準方程為．
（Ⅱ）　過F的直線l的方程為y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
因點F在橢圓內部必有△＞0，
有，
∴|FA|•|FB|=（1+k²）|（x₁-1）（x₂-1）|=（1+k²）|x₁x₂-（x₁+x₂）+1|=
由，得1≤k²≤3，解得或，
∴直線l的斜率的取值范圍為．
分析：（I）條件中給出一個直線系，需要先做出直線所過的定點，根據定點是橢圓的焦點，寫出橢圓中三個字母系數要滿足的條件，解方程組得到結果，寫出橢圓的方程．
（II）設出直線的方程和兩個交點的坐標，把直線與圓錐曲線的方程聯立寫出判別式的條件和根與系數的關系，根據所給的條件，代入不等式求出k的范圍．
點評：本題考查直線與圓錐曲線之間的關系，題目中首先求橢圓的方程，這是這類題目常用的一種形式，注意求橢圓的方程時，數字的運算不要出錯，不然后面的運算都是錯誤的．