【題目】已知函數
（
是自然對數的底數）.證明:
（1）
存在唯一的極值點;
（2）
有且僅有兩個實根，且兩個實根互為相反數.
【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析
【解析】
（1）要證明
存在唯一的極值點，通常情況下，即證明
有唯一解，且在此解左右兩邊的單調性不一致即可；
（2）首先借助第（1）問的結論與零點存在定理證明在
只有一個零點，在
只有一個零點，然后令
去證明
，即可得到
的兩根互為相反數.
證明:（1）的定義域為
，
當
時,
；
當
時,
,即
在
上是增函數，
又
，
所以存在
,使得
并且當
時
,當
時,
，
所以當
時,
是減函數，
當
時,
是增函數，
即
是唯一的極值點,且是極小值點。
（2）由（1）得： 在上是減函數，其中，
又
所以在只有一個零點，且這個零點在區間
上，
在上是增函數，
又
，
，
所以在只有一個零點，且這個零點在區間
上，
所以僅有兩個零點,分別記作
由于，
所以
，即
，故
.
即
也是的零點,即
所以
,即的兩根互為相反數.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某工廠為提高生產效率，需引進一條新的生產線投入生產，現有兩條生產線可供選擇，生產線①：有A，B兩道獨立運行的生產工序，且兩道工序出現故障的概率依次是0.01，0.05.若兩道工序都沒有出現故障，則生產成本為16萬元；若A工序出現故障，則生產成本增加2萬元；若B工序出現故障，則生產成本增加3萬元；若A，B兩道工序都出現故障，則生產成本增加5萬元.生產線②：有a，b兩道獨立運行的生產工序，且兩道工序出現故障的概率依次是0.04，0.02.若兩道工序都沒有出現故障，則生產成本為15萬元；若a工序出現故障，則生產成本增加8萬元；若b工序出現故障，則生產成本增加5萬元；若a，b兩道工序都出現故障，則生產成本增加13萬元.
（1）若選擇生產線②，求生產成本恰好為20萬元的概率；
（2）為最大限度節約生產成本，你會給工廠建議選擇哪條生產線？請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為調查某地區被隔離者是否需要社區非醫護人員提供幫助，用簡單隨機抽樣方法從該地區調查了500位被隔離者，結果如下：
性別 是否需要 | 男 | 女 |
需要 | 40 | 30 |
不需要 | 160 | 270 |
| 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 10.828 |
（1）估計該地區被隔離者中，需要社區非醫護人員提供幫助的被隔離者的比例；
（2）能否有99%的把握認為該地區的被隔離者是否需要社區非醫護人員提供幫助與性別有關？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下列說法中正確的是（ ）
A.若兩個隨機變量的線性相關性越強，則相關系數
的值越接近于1
B.設有一個回歸方程
，變量
增加一個單位時，
平均增加5個單位
C.把某中學的高三年級560名學生編號：1到560，再從編號為1到10的10名學生中隨機抽取1名學生，其編號為
，然后抽取編號為
，
，
，…的學生，這樣的抽樣方法是分層抽樣
D.若一組數據0，，3，4的平均數是2，則該組數據的方差是
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】數學中有許多形狀優美，寓意美好的曲線，曲線C：
就是其中之一（如圖）.給出下列三個結論：
①曲線C恰好經過6個整點（即橫、縱坐標均為整數的點）；
②曲線C上存在到原點的距離超過
的點；
③曲線C所圍成的“心形”區域的面積小于3.其中所有正確結論的個數是（ ）.
A.0B.1C.2D.3
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】
指數是用體重公斤數除以身高米數的平方得出的數字，是國際上常用的衡量人體胖瘦程度以及是否健康的一個標準．對于高中男體育特長生而言，當數值大于或等于20.5時，我們說體重較重，當數值小于20.5時，我們說體重較輕，身高大于或等于
我們說身高較高，身高小于170cm我們說身高較矮．
（1）已知某高中共有32名男體育特長生，其身高與指數的數據如散點圖，請根據所得信息，完成下述列聯表，并判斷是否有
的把握認為男生的身高對指數有影響．
身高較矮 | 身高較高 | 合計 | |
體重較輕 | |||
體重較重 | |||
合計 |
（2）①從上述32名男體育特長生中隨機選取8名，其身高和體重的數據如表所示：
編號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
身高 | 166 | 167 | 160 | 173 | 178 | 169 | 158 | 173 |
體重 | 57 | 58 | 53 | 61 | 66 | 57 | 50 | 66 |
根據最小二乘法的思想與公式求得線性回歸方程為
．利用已經求得的線性回歸方程，請完善下列殘差表，并求
（解釋變量（身高）對于預報變量（體重）變化的貢獻值）（保留兩位有效數字）；
編號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
體重（kg） | 57 | 58 | 53 | 61 | 66 | 57 | 50 | 66 |
殘差 |
|
|
|
|
|
|
|
②通過殘差分析，對于殘差的最大（絕對值）的那組數據，需要確認在樣本點的采集中是否有人為的錯誤，已知通過重新采集發現，該組數據的體重應該為
．小明重新根據最小二乘法的思想與公式，已算出
，請在小明所算的基礎上求出男體育特長生的身高與體重的線性回歸方程．
參考數據：
，
，
，
，
參考公式：
，
，
，
，
．
| 0.10 | 0.05 | 0.01 | 0.005 |
| 2.706 | 3.811 | 6.635 | 7.879 |
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