Question

已知向量

m

=(2sinx，2cosx)，

n

=(

3

cosx，cosx)，f(x)=

m

•

n

-1．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)先縮短到原來(lái)的

1

2

，把所得到的圖象再向左平移

π

6

單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)y=g（x）在區(qū)間[0，

π

8

]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算可求得f（x）=

m

•

n

-1=2sin（2x+

π

6

），從而可求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）利用三角函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換可得y=g（x）的表達(dá)式，從而可求得在區(qū)間[0，

π

8

]上的最小值．

解答：解：（1）依題意得，f（x）=

m

•

n

-1
=

3

sin2x+cos2x+1-1
=2sin（2x+

π

6

），
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π，
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）得：，
kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

（k∈Z）
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)先縮短到原來(lái)的

1

2

，可得y=2sin（x+

π

6

），把所得到的y=2sin（x+

π

6

）的圖象再向左平移

π

6

單位，
即得g（x）=2sin[（x+

π

6

）+

π

6

]=2sin（x+

π

3

）；又0≤x≤

π

8

，
∴

π

3

≤x+

π

3

≤

11π

24

，
∴g（x）_min=2sin

π

3

=

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，以向量的坐標(biāo)運(yùn)算為載體考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，考查正弦函數(shù)的性質(zhì)，是三角中的綜合題，屬于中檔題．