Question

已知函數(shù)g（x）=x²-（m+2）x+m，m∈R．
（1）若tanA、tanB是方程g（x）+3=0的兩個(gè)實(shí)根，且A、B為銳角△ABC的兩個(gè)內(nèi)角，求m的取值范圍．
（2）對(duì)任意實(shí)數(shù)a，恒有g(shù)（-1+cosa）≥0，求m的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，若函數(shù)g（sina）的最大值為8．求m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次不等式的解法,二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,三角形的形狀判斷

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由tanA、tanB是方程g（x）+3=0的兩個(gè)實(shí)根，結(jié)合韋達(dá)定理（一元二次方程根現(xiàn)系數(shù)關(guān)系）我們得到tanA+tanB=m+2，tanAtanB=m+3，代入兩角和的正切公式，結(jié)合A、B為銳角△ABC的兩個(gè)內(nèi)角，tanA＞0，tanB＞0，可得m的取值范圍．
（2）若對(duì)任意實(shí)數(shù)a，恒有g(shù)（-1+cosa）≥0，即g（x）=x²-（m+2）x+m≥0在[-2，0]上恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)分類討論，可求m的取值范圍；
（3）當(dāng)m≥0，令x=sina，（x∈[-1，1]），結(jié)合函數(shù)g（x）=x²-（m+2）x+m的圖象為開口朝上，且以直線x=

m+2

2

為對(duì)稱軸的拋物線線，故函數(shù)g（x）=x²-（m+2）x+m在[-1，1]上為減函數(shù)，再由函數(shù)g（sina）的最大值為8．構(gòu)造方程，可得m的值．

解答： 解：（1）∵tanA、tanB是方程g（x）+3=x²-（m+2）x+m+3=0的兩個(gè)實(shí)根，
∴tanA+tanB=m+2，tanA•tanB=m+3，
∵A、B為銳角△ABC的兩個(gè)內(nèi)角，
∴tanA＞0，tanB＞0，
∴m+2＞0，且m+3＞0，
∴m＞-2，
（2）任意實(shí)數(shù)a，-1+cosa∈[-2，0]，
對(duì)任意實(shí)數(shù)a，恒有g(shù)（-1+cosa）≥0，
即g（x）=x²-（m+2）x+m≥0在[-2，0]上恒成立，
當(dāng)

m+2

2

＞0，即m＞-2時(shí)，此時(shí)僅須g（0）=m≥0，
∴m≥0，
當(dāng)-2≤

m+2

2

≤0，即-6≤m≤-2時(shí)，此時(shí)僅須g（

m+2

2

）=

-m2-4

4

≥0，
∴此時(shí)不存在滿足條件的m值，
當(dāng)

m+2

2

＜-2，即m＜-6時(shí)，此時(shí)僅須g（-2）=3m+8≥0，解得：m≥-

8

3

∴此時(shí)不存在滿足條件的m值；
綜上所述，m的取值范圍為m≥0，
（3）當(dāng)m≥0，令x=sina，（x∈[-1，1]），
此時(shí)函數(shù)g（x）=x²-（m+2）x+m的圖象為開口朝上，且以直線x=

m+2

2

為對(duì)稱軸的拋物線線，
故函數(shù)g（x）=x²-（m+2）x+m在[-1，1]上為減函數(shù)，
故當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)g（x）=x²-（m+2）x+m取最大值1+m+2+m=8，
解得：m=

5

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是不等式的解法，二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔．