Question

在平面直角坐標系中，已知直線l:y=-1，定點F(0，1)，過平面內動點P作PQ丄l于Q點，且•
(I )求動點P的軌跡E的方程；
(II)過點P作圓的兩條切線，分別交x軸于點B、C，當點P的縱坐標y₀>4時，試用y₀表示線段BC的長，并求ΔPBC面積的最小值.

Answer 1

（Ⅰ）． （Ⅱ）的最小值為32．

（Ⅰ）設出點的坐標，根據條件列式化簡即可；（Ⅱ）先求出切線方程，然后利用弦長公式求出三角形的底邊，然后利用點到直線的距離求出高，進一步求出面積的最值
（Ⅰ）設，則，∵，
∴． …………………2分
即，即，
所以動點的軌跡的方程． …………………………4分
（Ⅱ）解法一：設，不妨設．
直線的方程:，化簡得 ．
又圓心到的距離為2， ，        
故，易知，上式化簡得， 同理有．　…………6分　
所以，，…………………8分
則．
因是拋物線上的點，有，
則 ，． ………………10分
所以．
當時，上式取等號，此時．
因此的最小值為32． ……………………12分 
解法二：設, 則，、的斜率分別為、，
則：，令得，同理得；
所以，……………6分
下面求,由到：的距離為2，得，
因為，所以，化簡得，
同理得…………………8分
所以、是的兩個根.
所以
，，
，……………10分
所以．
當時，上式取等號，此時．
因此的最小值為32．