Question

設點F₁，F₂分別是橢圓C：

x2

2

+y2=1的左、右焦點，P為橢圓C上任意一點．
（1）求數量積

PF1

-

PF2

的取值范圍；
（2）設過點F₁且不與坐標軸垂直的直線交橢圓C于A、B兩點，線段AB的垂直平分線與x軸交于點G，求點G橫坐標的取值范圍．

Answer 1

（1）由題意，可求得F₁（-1，0），F₂（1，0）．              
設P（x，y），則有

F1P

=(x+1，y)，

F2P

=(x-1，y)，

PF1

•

PF2

=x2+y2-1=

1

2

x2，x∈[-

2

，

2

]，
∴

PF1

•

PF2

∈[0，1]．                                           
（2）設直線AB的方程為y=k（x+1）（k≠0），
代入

x2

2

+y2=1，整理得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，（*）       
∵直線AB過橢圓的左焦點F₁，∴方程*有兩個不相等的實根．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點為M（x₀，y₀），則x1+x2=-

4k2

2k2+1

，x0=-

2k2

2k2+1

，y0=

k

2k2+1

．                 
線段AB的垂直平分線NG的方程為y-y0=-

1

k

(x-x0)．             
令y=0，則x_G=x₀+ky₀=-

2k2

2k2+1

+

k2

2k2+1

=-

k2

2k2+1

=-

1

2

+

1

4k2+2

．
∵k≠0，∴-

1

2

＜xG＜0．即點G橫坐標的取值范圍為(-

1

2

，0)．