Question

設點F₁，F₂分別是橢圓的左、右焦點，P為橢圓C上任意一點．
（1）求數量積的取值范圍；
（2）設過點F₁且不與坐標軸垂直的直線交橢圓C于A、B兩點，線段AB的垂直平分線與x軸交于點G，求點G橫坐標的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由題意，可求得F₁（-1，0），F₂（1，0）．
設P（x，y），則有，，
，
∴．
（2）設直線AB的方程為y=k（x+1）（k≠0），
代入，整理得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，（*）
∵直線AB過橢圓的左焦點F₁，∴方程*有兩個不相等的實根．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點為M（x₀，y₀），則，，．
線段AB的垂直平分線NG的方程為．
令y=0，則x_G=x₀+ky₀===．
∵k≠0，∴．即點G橫坐標的取值范圍為．
分析：（1）由P為橢圓C上任意一點，可得出點P的橫坐標的取值范圍，再利用向量的數量積的計算公式即可求出；
（2）把直線與橢圓的方程聯立，利用根與系數的關系即可得到線段AB的中點坐標，再利用已知即可得出線段AB的垂直平分線NG的方程．
點評：熟練掌握橢圓的性質、向量的數量積的計算公式、直線與橢圓相交問題的解題模式、根與系數的關系、線段的中點坐標公式、線段的垂直平分線的方程是解題的關鍵．