Question

已知圓O：x²+y²=9，過圓外一點P作圓的切線PA，PB（A，B為切點），當點P在直線2x-y+10=0上運動時，則四邊形PAOB的面積的最小值為

3

11

．

Answer 1

分析：四邊形PAOB為2個對稱的直角三角形構成，由OA與OB為圓的半徑，其值固定不變，得到當PO最小值，四邊形PAOB的面積最小，即圓心到直線的距離最小，利用點到直線的距離公式求出PO的長，利用勾股定理求出此時AP的長，利用三角形的面積公式求出兩直角三角形的面積，即為四邊形PAOB面積的最小值．

解答：解：由圓x²+y²=9，得到圓心O坐標為（0，0），半徑r=3，
又直線2x-y+10=0，
∴|PO|_min=

10

5

=2

5

，又|OA|=3，
∴在Rt△AOP中，利用勾股定理得：|AP|=

11

，
則四邊形PAOB面積的最小值S=2×

1

2

×|OA|×|AP|=3

11

．
故答案為：3

11

點評：此題考查了直線與圓方程的應用，涉及的知識有：圓的標準方程，點到直線的距離公式，勾股定理，以及三角形面積的求法，其中根據題意得到|PO|的最小時，Rt△APO面積最小是解本題的關鍵．