Question

（2012•廣州一模）已知圓O：x²+y²=r²，點P（a，b）（ab≠0）是圓O內一點，過點P的圓O的最短弦所在的直線為l₁，直線l₂的方程為ax+by+r²=0，那么（　　）

A．l₁∥l₂，且l₂與圓O相離

B．l₁⊥l₂，且l₂與圓O相切

C．l₁∥l₂，且l₂與圓O相交

D．l₁⊥l₂，且l₂與圓O相離

Answer 1

分析：用點斜式求得直線m的方程，與直線l的方程對比可得m∥l，利用點到直線的距離公式求得圓心到直線l的距離大于
半徑 r，從而得到圓和直線l相離．

解答：解：由題意可得a²+b²＜r²，OM⊥m．
∵K_OP=

b

a

，∴l₁的斜率k₁=-

a

b

．
故直線l₁的方程為 y-b=-

a

b

（x-a），即 ax+by-（a²+b²）=0．
又直線l₂的方程為ax+by+r²=0，故l₁∥l₂，
圓心到直線l₂的距離為

|0+0-r2|

a2+b2

＞

r2

r

=r，故圓和直線l₂相離．
故選A．

點評：本題考查點和圓、直線和圓的位置關系，點到直線的距離公式，得到圓心到直線l的距離大于半徑 r，是解題的關鍵．